Eliminación Gaussiana – Algoritmos antiguos

Método de HornerLa eliminación gaussiana es un algoritmo que permite resolver un sistema de ecuaciones lineal. Consiste en una secuencia de operaciones realizadas sobre las matrices de los coeficientes de dichas ecuaciones.
Este algoritmo aparece por primera vez en el libro “Los nueve capítulos de el arte matemático“, un libro realizado por varias generaciones de estudiosos en China entre los siglos I y II AC.

carl_friedrich_gauss_1840_by_jensenCarl Friedrich Gauss desarrollo en 1810 una notación para la eliminación simétrica que fue adoptada en el siglo IX por las llamadas “computadoras humanas” para resolver los problemas de mínimos cuadrados  en ecuaciones normales. Finalmente el algoritmo comenzó a llamarse solamente por el nombre de Gauss.

Funcionamiento del algoritmo de Eliminación Gaussiana

El algoritmo de eliminación Gaussiana realiza lo que se llama una reducción de filas en una matriz donde se realizan una serie de operaciones sobre los valores hasta que la esquina izquierda inferior de la matriz consiste solamente en ceros.

Existen tres tipos de operaciones elementales de filas

  • Intercambiar dos filas
  • Multiplicar una fila por un escalar diferente de cero
  • Sumar el múltiplo de una fila a otra fila

En el siguiente ejemplo se ve la resolución de un sistema de ecuaciones .

Sistema de ecuaciones - Eliminación Gaussiana

El primer paso es convertir el sistema en matriz.

El primer valor a convertir en 0 es el primer valor de la segunda fila, para hacerlo dividimos el valor por el primer elemento de la matriz.

Eliminación Gaussiana

Multiplico el valor obtenido por el valor de la primera fila y resto el valor resultante al valor correspondiente de la segunda fila.

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Repito el procedimiento para la tercer fila

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Repito para el segundo valor de la tercera fila

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana

Despejo el valor de x3

Eliminación Gaussiana

Divido el resultado de la segunda ecuación por el valor de la diagonal y obtengo el valor de x2

 

Eliminación Gaussiana

Sumo la multiplicación de x2 por los valores de la primera fila

Eliminación Gaussiana

Divido la suma por el valor de la diagonal y obtengo x1

Eliminación Gaussiana

Eliminación Gaussiana – Algoritmo

Pseudocódigo para PSeint

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